Provar que se sumnu=1^infty anu ^2 convergir, o mesmo acontecerá para sumnu=1^infty anunu.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
sumnu=1^inftyanu^2
converge, então também converge
sumnu=1^inftyanunu
O conteúdo é o uso da desigualdade de Cauchy–Schwarz em séries e o fato de que a série
sumnolimitsnu=1^inftytfrac1nu^2 converge (série p com p=2>1).

Passo 2

Recordando a desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas: para quaisquer sequências reais (xnu) e (ynu) e todo N, vale
sumnu=1^Nxnuynu ;<=; l(sumnu=1^Nxnu^2r)^1/2 l(sumnu=1^Nynu^2r)^1/2

Passo 3

Aplique Cauchy–Schwarz com xnu=anu e ynu=tfrac1nu. Para cada N:
sumnu=1^Nl|anutfrac1nur| ;<=; l(sumnu=1^Nanu^2r)^1/2 l(sumnu=1^Ntfrac1nu^2r)^1/2
Pelo hipótse, sumnu=1^inftyanu^2 converge e sabe-se que
sumnu=1^inftytfrac1nu^2 converge. Logo os dois fatores à direita são finitos.

Passo 4

Como o lado direito é independente de N e finito, as somas parciais
sumnu=1^N|anu/nu|
são uniformemente limitadas. Portanto
sumnu=1^inftyl|tfracanunur|
converge, ou seja, sumnu=1^inftytfracanunu é absolutamente convergente e, em particular, convergente.

Resposta

A série sumnu=1^inftytfracanunu converge.

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