Provar que se
convergir, o mesmo acontecerá para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
converge, então também converge
O conteúdo é o uso da desigualdade de Cauchy–Schwarz em séries e o fato de que a série
converge (série
com
).
Passo 2
Recordando a desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas: para quaisquer sequências reais
e
e todo
, vale
Passo 3
Aplique Cauchy–Schwarz com
e
. Para cada
:
Pelo hipótse,
sumnu=1^inftyanu^2 converge e sabe-se que
sumnu=1^inftytfrac1nu^2 converge. Logo os dois fatores à direita são finitos.
Passo 4
Como o lado direito é independente de
N e finito, as somas parciais
sumnu=1^N|anu/nu|
são uniformemente limitadas. Portanto
são uniformemente limitadas. Portanto
converge, ou seja,
sumnu=1^inftytfracanunu é absolutamente convergente e, em particular, convergente.
Resposta
A série
sumnu=1^inftytfracanunu converge.