Mediu-se a hipotenusa de um triângulo retângulo, com precisão, achan-do-se 40, ao passo que o ângulo lido de 30^circ tem um êrro possível de 36^circ. Pede-se o êrro provável cometido no cálculo dos outros lados e na área do triângulo.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo retângulo cuja hipotenusa foi medida com precisão, dando c=40, e o ângulo oposto a um dos catetos foi lido como A=30^circ com erro provável de 36" (arc-segundos). Queremos estimar, por propagação de erros (diferenciais), o erro provável nos comprimentos dos outros dois lados a e b e na área S.

Passo 2

Escrevemos os catetos em função de c e A:
a = csin A, b = ccos A
Como o erro na medida de c é desprezível ( dc=0), a variação aproximada (erro provável) vem só de A:
da approx partial apartial A,dA = ccos A,dA, db approx partial bpartial A,dA = -,csin A,dA

Passo 3

Convertemos o erro em A para radianos.
De<a A = 36'' = 363600^circ = 0,01^circ = 0,01cdotpi180,rad = pi18000,rad approx 0,0001745,rad
Em A=30^circ temos sin30^circ=tfrac12 e cos30^circ=tfracraiz32. Substituindo em da e db:
da = 40cdotraiz32,De<a A approx 34,641cdot0,0001745 approx 0,00605,
db = -,40cdot12,De<a A = -20,De<a A approx -20cdot0,0001745 approx -0,00349
Logo, os erros prováveis em módulo são
De<a a approx 0,00605, De<a b approx 0,00349

Passo 4

Para a área usamos S=tfrac12ab ou diretamente
S = c^24sin2A,
cuja diferencial é
dS = c^22cos2A,dA
Em A=30^circ vale cos60^circ=tfrac12, então
dS = 40^22cdot12,De<a A = 400,De<a A approx 400cdot0,0001745 approx 0,0698
Portanto, o erro provável na área é
De<a S approx 0,0698

Resposta

Erro provável em a: pm0,00605
Erro provável em b: pm0,00349
Erro provável em S: pm0,0698

Exercícios de Livros Relacionados