Determine alpha e beta para que n=2^3 cdot 5^alpha cdot 7^beta tenha 84 divisores.

Passo 1

O enunciado pede para achar alpha e beta tais que
n = 2^3,cdot,5^alpha,cdot,7^beta
tenha exatamente 84 divisores.
Conteúdo: usamos a fórmula do número de divisores de um inteiro com fatoração prima: se
n = prodipi^ei,
então
d(n) = prodi(ei+1)

Passo 2

Aplicando ao nosso n, os expoentes são 3 em 2, alpha em 5 e beta em 7. Logo
d(n) = (3+1),(alpha+1),(beta+1) = 4,(alpha+1),(beta+1)
Queremos d(n)=84, isto é,
4,(alpha+1),(beta+1)=84

Passo 3

Isolando o produto (alpha+1)(beta+1), dividimos ambos os lados por 4:
(alpha+1),(beta+1) = 844 = 21

Passo 4

Procuramos pares de inteiros positivos cujo produto vale 21. Os divisores positivos de 21 são 1,3,7,21, e os pares (alpha+1,beta+1) possíveis são
(1,21),,(3,7),,(7,3),,(21,1)
Desse modo obtemos as soluções para alpha e beta:
(alpha,beta) = (0,20),,(2,6),,(6,2),,(20,0)

Resposta

alpha=0,;beta=20
alpha=2,;beta=6
alpha=6,;beta=2
alpha=20,;beta=0

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