Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto
, das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem 2 (quadrática) e 3 (cúbica) de
em torno de
. Isso envolve calcular derivadas de
até a terceira ordem e usar a definição do polinômio de Taylor:
Passo 2
Vamos achar
,
e
. É conveniente reescrever
Aplicando a regra do produto e da cadeia para
:
Para
usamos derivação de quociente ou produto novamente; o resultado simplificado é
Finalmente, derivando mais uma vez e simplificando chegamos a
e em particular o valor exato em
virá no próximo passo.
Passo 3
Avaliando as derivadas em
para obter os coeficientes do polinômio de Taylor:
Passo 4
Escrevemos agora os polinômios de Taylor centrados em 0:
Resposta
A aproximação quadrática é
e a aproximação cúbica é