Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto x0=0, das seguintes funções:
f(x)=xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem 2 (quadrática) e 3 (cúbica) de
!f(x)=xx^2+1
em torno de x0=0. Isso envolve calcular derivadas de f até a terceira ordem e usar a definição do polinômio de Taylor:
Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!x^k

Passo 2

Vamos achar ,f'(x), ,f''(x) e ,f'''(x). É conveniente reescrever
f(x)=x,(1+x^2)^-1
Aplicando a regra do produto e da cadeia para f'(x):
f'(x)=1cdot(1+x^2)^-1+xcdotl(-1r)(1+x^2)^-2cdot2x =1 - x^2(1+x^2)^2
Para f''(x) usamos derivação de quociente ou produto novamente; o resultado simplificado é
f''(x) =2x,(x^2-3)(1+x^2)^3
Finalmente, derivando mais uma vez e simplificando chegamos a
f'''(x)=-6 + O(x^2)(1+x^2)^4!,
e em particular o valor exato em x=0 virá no próximo passo.

Passo 3

Avaliando as derivadas em x=0 para obter os coeficientes do polinômio de Taylor:
f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-6

Passo 4

Escrevemos agora os polinômios de Taylor centrados em 0:
P2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2 =0 + 1cdot x + 02x^2 =x
P3(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2+f'''(0)3!x^3 =0 + x + 0 - 66x^3 =x - x^3

Resposta

A aproximação quadrática é
P2(x)=x,
e a aproximação cúbica é
P3(x)=x - x^3

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