Determine a área total do octaedro regular inscrito em uma esfera cujo círculo máximo tem 36 pi cm^2 de área.

Passo 1

O enunciado dá a área do círculo máximo da esfera inscrita num octaedro regular igual a 36pi cm^2. Precisamos (1) extrair o raio da esfera, (2) usar a relação entre esse raio e a aresta do octaedro regular inscrito e (3) calcular a área total do octaedro. O conteúdo é geometria espacial de poliedros regulares.

Passo 2

A área do círculo máximo da esfera de raio R é
pi R^2 = 36pi
Daí obtemos
R^2 = 36 Longrightarrow R = 6 cm

Passo 3

Num octaedro regular inscrito na esfera de raio R, podemos tomar os vértices em (pm a,0,0), (0,pm a,0), (0,0,pm a). Como esses pontos estão sobre a esfera, a = R. A aresta s do octaedro é a distância entre, por exemplo, (a,0,0) e (0,a,0), logo
s = raiz(a-0)^2 + (0-a)^2 = raiza^2 + a^2 = araiz2 = Rraiz2

Passo 4

O octaedro regular tem 8 faces, cada uma um triângulo equilátero de lado s. A área de um triângulo equilátero é tfracraiz34s^2, então a área total é
A = 8 times raiz34,s^2 = 2raiz3,s^2
Substituindo s = Rraiz2 obtemos
A = 2raiz3,(Rraiz2)^2 = 2raiz3,(2R^2) = 4raiz3,R^2

Passo 5

Por fim, com R=6,
A = 4raiz3times 6^2 = 4raiz3times 36 = 144raiz3 cm^2

Resposta

144raiz3 cm^2

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