Determine a área total do octaedro regular inscrito em uma esfera cujo círculo máximo tem
de área.
Passo 1
O enunciado dá a área do círculo máximo da esfera inscrita num octaedro regular igual a
. Precisamos (1) extrair o raio da esfera, (2) usar a relação entre esse raio e a aresta do octaedro regular inscrito e (3) calcular a área total do octaedro. O conteúdo é geometria espacial de poliedros regulares.
Passo 2
A área do círculo máximo da esfera de raio
é
Daí obtemos
Passo 3
Num octaedro regular inscrito na esfera de raio
, podemos tomar os vértices em
,
,
. Como esses pontos estão sobre a esfera,
. A aresta
do octaedro é a distância entre, por exemplo,
e
, logo
Passo 4
O octaedro regular tem 8 faces, cada uma um triângulo equilátero de lado
. A área de um triângulo equilátero é
, então a área total é
Substituindo
obtemos
Passo 5
Por fim, com
,