Determine b em cada urn dos seguintes casos:
12551=(30407)b.

Passo 1

O enunciado nos dá o número decimal 12551 e afirma que ele é igual ao número 30407 escrito numa base b. O conteúdo aqui é conversão de base e resolução de uma equação polinomial em b.

Passo 2

Vamos converter (30407)b para decimal usando expansão em potências de b:
(30407)b = 3b^4 + 0cdot b^3 + 4b^2 + 0cdot b + 7 = 3b^4 + 4b^2 + 7

Passo 3

Igualamos isso a 12551 e simplificamos:
3b^4 + 4b^2 + 7 = 12551
3b^4 + 4b^2 - 12544 = 0

Passo 4

Fazemos a mudança de variável x = b^2. A equação vira
3x^2 + 4x - 12544 = 0
O discriminante é
De<a = 4^2 - 4cdot 3cdot(-12544) = 16 + 150528 = 150544 = 388^2
Logo
x = -4 pm 3886
Só interessa a solução positiva:
x = -4 + 3886 = 3846 = 64
Assim b^2=64.

Passo 5

Temos b=pm 8, mas base deve ser positiva e maior que o maior dígito usado (que é 7), logo
b = 8

Resposta

8

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