Seja
um terno pitagórico tal que b é ímpar. Prove que
.
Passo 1
O enunciado nos dá um terno pitagórico
tal que
e informa que
é ímpar. Queremos provar que
. Para isso, vamos usar propriedades de paridade e aritmética modular, em especial quadrados módulo
e módulo
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é par e
é ímpar.
- Se
e fossem ambos ímpares, teríamos então mas nenhum quadrado inteiro vale módulo . Contradição. Logo não pode ser ímpar, isto é, é par. - Se
fosse par e ímpar, teríamos e então mas nenhum quadrado vale módulo . Contradição. Logo é ímpar.
Passo 3
Para inteiros ímpares vale sempre
Como
e
são ímpares,
Da relação pitagórica segue
ou seja,
.
Passo 4
Se
, então a fatoração de
em potências de
tem expoente pelo menos
; isto implica que a própria fatoração de
tem expoente pelo menos
. Em outras palavras,
.
Resposta
Portanto, em qualquer terno pitagórico em que o segundo cateto
seja ímpar, o primeiro cateto
é múltiplo de
.