Seja (a, b, c) um terno pitagórico tal que b é ímpar. Prove que 4 mid a.

Passo 1

O enunciado nos dá um terno pitagórico (a,b,c) tal que
a^2 + b^2 = c^2
e informa que b é ímpar. Queremos provar que 4mid a. Para isso, vamos usar propriedades de paridade e aritmética modular, em especial quadrados módulo 4 e módulo 8.

Passo 2

Mostramos primeiro que a é par e c é ímpar.
  • Se a e b fossem ambos ímpares, teríamos a^2equiv1pmod4, b^2equiv1pmod4 então c^2 = a^2+b^2equiv1+1equiv2pmod4, mas nenhum quadrado inteiro vale 2 módulo 4. Contradição. Logo a não pode ser ímpar, isto é, a é par.
  • Se c fosse par e b ímpar, teríamos c^2equiv0pmod4, b^2equiv1pmod4 e então a^2 = c^2 - b^2 equiv 0 - 1 equiv 3pmod4, mas nenhum quadrado vale 3 módulo 4. Contradição. Logo c é ímpar.

Passo 3

Para inteiros ímpares vale sempre
x^2equiv1pmod8
Como b e c são ímpares,
b^2equiv1pmod8, c^2equiv1pmod8
Da relação pitagórica segue
a^2 = c^2 - b^2 equiv 1 - 1 equiv 0 pmod8,
ou seja, 8mid a^2.

Passo 4

Se 8mid a^2, então a fatoração de a^2 em potências de 2 tem expoente pelo menos 3; isto implica que a própria fatoração de a tem expoente pelo menos 2. Em outras palavras, 4mid a.

Resposta

Portanto, em qualquer terno pitagórico em que o segundo cateto b seja ímpar, o primeiro cateto a é múltiplo de 4.

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