Determine as características das seguintes matrizes:
f) [rrr1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 4 & 3 & -1 5 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede as características da matriz
A= 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 4 & 3 & -1 5 & 2 & 2
que é uma aplicação linear de R^3 em R^4. Vamos determinar o posto ( rank), a nulidade ( dimker A), bases de Im,A e de ker A, e verificar se é injetora ou sobrejetora.

Passo 2

Para achar o posto, fazemos eliminação de Gauss em A:
1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 4 & 3 & -1 5 & 2 & 2 ;xrightarrowR2-2R1,;R3-4R1,;R4-5R1; 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & -1 & -1 0 & -3 & 2
;xrightarrowR2cdot(-1),;R1!-!R2,;R3+R2,;R4+3R2; 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & -2 0 & 0 & -1
;xrightarrowR3cdot(-tfrac12),;eliminações;no;col;3; 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 çõ
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo
rank(A)=3

Passo 3

Pela dimensão do domínio ( 3) e o teorema da dimensão,
dimker A = 3 - rank(A) = 3 - 3 = 0
Portanto ker A = 0; a nulidade é zero e a base do núcleo é a base vazia.

Passo 4

A dimensão da imagem é igual ao posto, isto é,
diml(Im,Ar)=3
Como as três colunas originais de A são linearmente independentes, uma base de Im,A é
l 1245, 1132, 01-12 r

Passo 5

Como ker A=0, a aplicação é injetora. Mas dimIm,A=3<4, logo não é sobrejetora em R^4.

Resposta

posto rank(A)=3
nulidade dimker A=0 (kernel trivial)
base de Im,A: (1,2,4,5)^T,,(1,1,3,2)^T,,(0,1,-1,2)^T
base de ker A: nenhuma (só o vetor zero)
A é injetora e não é sobrejetora.

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