Determine as características das seguintes matrizes:
f)
Passo 1
O enunciado pede as características da matriz
A= 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 4 & 3 & -1 5 & 2 & 2
que é uma aplicação linear de R^3 em R^4. Vamos determinar o posto (rank), a nulidade (dimker A), bases de Im,A e de ker A, e verificar se é injetora ou sobrejetora.
Passo 2
Para achar o posto, fazemos eliminação de Gauss em A:
Pela dimensão do domínio (3) e o teorema da dimensão,
dimker A = 3 - rank(A) = 3 - 3 = 0
Portanto ker A = 0; a nulidade é zero e a base do núcleo é a base vazia.
Passo 4
A dimensão da imagem é igual ao posto, isto é,
diml(Im,Ar)=3
Como as três colunas originais de A são linearmente independentes, uma base de Im,A é
l 1245, 1132, 01-12 r
Passo 5
Como ker A=0, a aplicação é injetora. Mas dimIm,A=3<4, logo não é sobrejetora em R^4.
Resposta
posto rank(A)=3
nulidade dimker A=0 (kernel trivial)
base de Im,A: (1,2,4,5)^T,,(1,1,3,2)^T,,(0,1,-1,2)^T
base de ker A: nenhuma (só o vetor zero) A é injetora e não é sobrejetora.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 429.f