Determine as características das seguintes matrizes:
c) [rrrr1 & -1 & 1 & 0 2 & 3 & -1 & 1 0 & 2 & 4 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as principais características da matriz
A = 1 & -1 & 1 & 0 2 & 3 & -1 & 1 0 & 2 & 4 & 2 ,
ou seja, o posto (rank), a nulidade (dimensão do núcleo), uma base para a imagem (colunas independentes) e uma base para o núcleo (solução de Ax=0). Para isso vamos usar eliminação de Gauss e o teorema do núcleo e imagem.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A. Primeiro zeramos abaixo de a11 com
R2 R2 - 2,R1,
obtendo
1 & -1 & 1 & 0 0 & 5 & -3 & 1 0 & 2 & 4 & 2
Em seguida,
R3 R3 - tfrac25,R2,
ficando
1 & -1 & 1 & 0 0 & 5 & -3 & 1 0 & 0 & tfrac265 & tfrac85

Passo 3

Na forma escalonada vemos pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo
posto(A) = 3
Pela relação de dimensão do teorema do núcleo e imagem em R^4,
nulidade(A) = 4 - posto(A) = 4 - 3 = 1

Passo 4

Uma base para a imagem de A é dada pelas colunas originais correspondentes aos pivôs, ou seja, colunas 1, 2 e 3 de A:
l(1,2,0),;(-1,3,2),;(1,-1,4)r

Passo 5

Para achar o núcleo, resolvemos
da última equação vem
Substituindo em vem
Logo, com parâmetro ,
onde . Assim uma base de é

Resposta

A matriz A tem
bul<=t ordem 3times4 bul<=t posto rank(A)=3 bul<=t nulidade dimker(A)=1 bul<=t base da imagem (1,2,0),(-1,3,2),(1,-1,4) bul<=t base do núcleo (-1,-5,-4,13).

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