Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
3 x+4 y-z+2 t & =2 2 x-2 y+z-3 t & =5 -x+3 y+2 z-t & =3 2 x+7 y+z+t & =-1

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas l(x,y,z,tr) e pede para, usando o teorema de Rouché–Capelli, classificá-lo (se é compatível ou não) e, quando possível, resolver. Para isso vamos construir a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada tilde A, aplicar eliminação de Gauss para encontrar os postos (ranks) e então usar o teorema de Rouché–Capelli.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada tilde A:
A = 3 & 4 & -1 & 2 2 & -2 & 1 & -3 -1 & 3 & 2 & -1 2 & 7 & 1 & 1 , tilde A = 3 & 4 & -1 & 2 & 2 2 & -2 & 1 & -3 & 5 -1 & 3 & 2 & -1 & 3 2 & 7 & 1 & 1 & -1

Passo 3

Eliminamos a variável x das linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô:
R2 to R2 - tfrac23R1, R3 to R3 + tfrac13R1, R4 to R4 - tfrac23R1
Após simplificar (e multiplicar convenientemente para evitar frações nos sub-detalhes), obtemos no bloco triangular superior:
3 & 4 & -1 & 2 & 2 0 & -14 & 5 & -13 & 11 0 & 13 & 5 & -1 & 11 0 & 13 & 5 & -1 & -7

Passo 4

Usamos agora o pivô
O resultado, ao agrupar fatores, leva a duas linhas idênticas de coeficientes em e mas com termos independentes distintos:
Isso gera uma equação contraditória ((297\neq45]), ou seja, uma linha que equivale a

indicando inconsistência.

Passo 5

Pelo teorema de Rouché–Capelli, o posto da matriz de coeficientes é rank(A)=3 (há três linhas não-nulas) e o posto da matriz aumentada é rank(tilde A)=4 (a linha contraditória aumenta o posto). Como rank(A)neqrank(tilde A), o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema é incompatível e não possui solução.

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