Discuta e resolva o sistema:
r x-m y+z=0 2 x-y+m z=3 2 x-2 y+m z=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x - m,y + z = 0, 2x - y + m,z = 3, 2x - 2y + m,z = 2,
onde m é um parâmetro. O conteúdo é resolução de sistemas lineares com parâmetro, usando determinante para analisar existência e unicidade de solução.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & -m & 1 2 & -1 & m 2 & -2 & m
e calculamos seu determinante:
det A =1cdotl((-1),m - m,(-2)r) -(-m)cdotl(2,m - m,2r) +1cdotl(2,(-2)-(-1),2r) = m - 2
Logo det A = m - 2.

Passo 3

Caso m neq 2, temos det Aneq 0 e existe solução única. Da primeira equação
x = m,y - z,
substituímos em
2x - y + m,z = 3, 2x - 2y + m,z = 2
Isso leva ao sistema em y,z:
(2m-1)y + (m-2)z = 3, (2m-2)y + (m-2)z = 2
Subtraindo, obtemos
y = 1
Em seguida
(2m-1)cdot1 + (m-2)z = 3 ;Longrightarrow; (m-2)z = 4 - 2m ;Longrightarrow; z = 4-2mm-2 = -2
Finalmente
x = mcdot1 - (-2) = m + 2
Portanto, para mneq 2
(x,y,z) = (,m+2,;1,;-2,)

Passo 4

Caso
Da primeira equação . Então da primeira fica e a segunda (dividida por 2) é , que também dá . Logo o sistema é compatível indeterminado, com parâmetro para :

Resposta

Para mneq 2, existe solução única
(x,y,z) = (,m+2,;1,;-2,)
Para m=2, o sistema tem infinitas soluções dadas por
x = 2 - t, y = 1, z = t, tinR

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