Determine o conjunto dos valores que pode ter a razão de uma P.G. crescente formada pelas medidas dos lados de um triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que as medidas dos lados de um triângulo formam uma P.G. crescente. Sejam essas medidas
;a,;ar,;ar^2,
com a>0 e razão ;r>1. Para que três segmentos formem um triângulo, a soma de quaisquer dois deve ser maior que o terceiro.

Passo 2

Como a P.G. é crescente, o maior lado é ar^2. Logo, a única desigualdade não trivially satisfeita é
a + ar > ar^2

Passo 3

Divide-se ambos os lados por a>0:
1 + r > r^2,
que equivale a
r^2 - r - 1 < 0

Passo 4

A equação r^2 - r - 1 = 0 tem raízes
r = 1 pm raiz52
Como o coeficiente de r^2 é positivo, a desigualdade r^2 - r - 1<0 vale para
1 - raiz52 < r < 1 + raiz52

Passo 5

Como precisamos de ;r>1, intersectamos os intervalos e obtemos
1 < r < 1 + raiz52

Resposta

O conjunto dos valores possíveis para a razão é
,rinRmid 1<r<tfrac1+raiz52

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