Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Sabendo que 0<q<1, calcule o valor da expressão q+2 q^2+3 q^3+4 q^4+ldots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=1^inftyn,q^n=q+2q^2+3q^3+4q^4+cdots
com a condição de convergência 0<q<1. O conteúdo aqui é manipulação de séries de potências e soma da série geométrica.

Passo 2

Defina
S=sumn=1^inftyn,q^n
Multiplique S por q:
qS=sumn=1^inftyn,q^n+1 =sumk=2^infty(k-1),q^k,
onde em qS fizemos a mudança de índice k=n+1.

Passo 3

Subtraindo qS de S, temos
S - qS =sumn=1^inftyn,q^n -sumn=2^infty(n-1),q^n
No termo n=1 fica 1cdot q, e para n>=2 cada coeficiente é
n - (n-1) = 1,
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S(1-q)=q+q^2+q^3+cdots

Passo 4

A soma geométrica é
sumn=1^inftyq^n=q1-q
Então
S(1-q)=q1-q Longrightarrow S=q(1-q)^2

Resposta

q(1-q)^2

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