Determine as constantes A, B e C tais que:
1(x+2)(x^2-1)=Ax+2+Bx+1+Cx-1.

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função
1(x+2)l(x^2-1r)
onde x^2-1=(x-1)(x+1). Vamos usar o método das frações parciais, que consiste em escrever
1(x+2)(x-1)(x+1)=Ax+2+Bx+1+Cx-1
e determinar A, B e C.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x+2)(x-1)(x+1) para obter uma identidade polinomial:
1 = A,(x-1)(x+1) + B,(x+2)(x-1) + C,(x+2)(x+1)

Passo 3

Escolhemos valores de x que anulam dois dos três termos e isolam cada constante:
Para x=-2:
1 = A,((-2)-1)((-2)+1) + 0 + 0 = A,( -3)(-1)=3A Longrightarrow A=tfrac13
Para x=-1:
1 = 0 + B,((-1)+2)((-1)-1) + 0 = B,(1)(-2)=-2B Longrightarrow B=-tfrac12
Para x=1:
1 = 0 + 0 + C,(1+2)(1+1) = C,(3)(2)=6C Longrightarrow C=tfrac16

Resposta

A = tfrac13, B = -tfrac12, C = tfrac16

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