Determine os pontos equidistantes dos pontos (0,-2) e (6,4).

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos P=(x,y) que estão à mesma distância de A=(0,-2) e de B=(6,4).
O conteúdo envolvido é geometria analítica: a condição de equidistância gera o bissetor perpendicular do segmento AB. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância no plano e manipular algebricamente.

Passo 2

Seja P=(x,y). A distância de P a A é
d(P,A)=raiz(x-0)^2 + (y-(-2))^2 =raizx^2 + (y+2)^2,
e a distância de P a B é
d(P,B)=raiz(x-6)^2 + (y-4)^2
A condição de equidistância é
raizx^2 + (y+2)^2 =raiz(x-6)^2 + (y-4)^2

Passo 3

Elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos
x^2 + (y+2)^2 = (x-6)^2 + (y-4)^2

Passo 4

Expandindo e simplificando:
x^2 + y^2 + 4y + 4 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 8y + 16
Cancelam-se x^2 e y^2, ficando
4y + 4 = -12x -8y + 52 Longrightarrow 12x + 12y - 48 = 0 Longrightarrow x + y - 4 = 0

Resposta

A reta que representa todos os pontos equidistantes de (0,-2) e (6,4) é
x + y = 4

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