29 Determine as coordenadas de todos os seis vértices no hexágono regular cujos vértices estão na circunferência unitária, com (1,0) como um dos vértices. Liste os vértices em ordem anti-horária começando em (1,0).

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas dos seis vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência de raio unitário, com um vértice em (1,0), listados em ordem anti-horária a partir de (1,0). Para resolver, vamos usar a parametrização trigonométrica da circunferência unitária: cada vértice corresponde a um ângulo igualmente espaçado de 2\pi/6.

Passo 2

Sabemos que, para um polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio 1, os vértices são
(\cos(2\pi k/n),\;\sin(2\pi k/n)),
com k=0,1,\dots,n-1. Aqui n=6, logo o espaçamento angular é
\Delta\theta = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Calculamos as coordenadas para k=0,1,2,3,4,5:
k =0: \theta=0
(\cos0,\sin0) = (1,0).
k =1: \theta=\pi/3
\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3},\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
k =2: \theta=2\pi/3
\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{3},\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =\bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
k =3: \theta=\pi
(\cos\pi,\sin\pi)=(-1,0).
k =4: \theta=4\pi/3
\bigl(\cos\tfrac{4\pi}{3},\sin\tfrac{4\pi}{3}\bigr) =\bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
k =5: \theta=5\pi/3
\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{3},\sin\tfrac{5\pi}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

Resposta

(1,0) \bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) \bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) (-1,0) \bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) \bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)

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