Determine dy/dx por derivação implícita.
x^{3}+y^{3}=x y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{3} + y^{3} = x\,y
e pede \dfrac{dy}{dx}. O conteúdo é derivação implícita, onde tratamos y como função de x e aplicamos a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo,
\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}, \quad \frac{d}{dx}(y^{3}) = 3y^{2}\,\frac{dy}{dx}.
No lado direito, aplicamos a regra do produto em x\,y:
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\,\frac{dy}{dx} + y\cdot 1 = x\,\frac{dy}{dx} + y.
Portanto, a diferenciação dá
3x^{2} + 3y^{2}\,\frac{dy}{dx} = x\,\frac{dy}{dx} + y.

Passo 3

Isolamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} de um lado e os demais do outro:
3y^{2}\,\frac{dy}{dx} - x\,\frac{dy}{dx} = y - 3x^{2}.
Fatorando \dfrac{dy}{dx}:
\bigl(3y^{2} - x\bigr)\,\frac{dy}{dx} = y - 3x^{2}.

Passo 4

Finalmente, dividimos ambos os lados por (3y^{2}-x) para obter
\frac{dy}{dx} = \frac{y - 3x^{2}}{3y^{2} - x}.

Resposta

\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{y - 3x^{2}}{3y^{2} - x}}

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