Calcule dy/dx de duas formas:
(a) Por derivação implícita.
(b) Derivando uma expressão explícita de y.
Em cada caso, mostre que as duas respostas são iguais.
x y+2 y=3

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\,y + 2\,y = 3
e pede para calcular \frac{dy}{dx} de duas formas:
– (a) derivação implícita,
– (b) derivando a expressão explícita de y.
Vamos usar a regra do produto para (a) e álgebra elementar para isolar y em (b).

Passo 2

Derivando implicitamente cada termo em
x\,y + 2\,y = 3
temos
\frac{d}{dx}(x\,y) + \frac{d}{dx}(2\,y) = \frac{d}{dx}(3).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\frac{dy}{dx} + y\cdot1,
e
\frac{d}{dx}(2\,y) = 2\frac{dy}{dx},
enquanto \frac{d}{dx}(3)=0. Logo,
x\,\frac{dy}{dx} + y + 2\,\frac{dy}{dx} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; (x+2)\,\frac{dy}{dx} + y = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x+2}.

Passo 3

Agora isolamos y na equação original:
y\,(x+2) = 3 \;\;\Longrightarrow\;\; y = \frac{3}{x+2}.
Derivando explicitamente,
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{3}{x+2}\Bigr) = 3 \cdot \frac{d}{dx}\bigl((x+2)^{-1}\bigr) = 3\cdot\bigl(-1\bigr)\,(x+2)^{-2} = -\frac{3}{(x+2)^2}.

Passo 4

Para ver que os resultados coincidem, note que da forma implícita tínhamos
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x+2},
e substituindo y = \frac{3}{x+2} vem
-\frac{y}{x+2} = -\frac{\tfrac{3}{x+2}}{x+2} = -\frac{3}{(x+2)^2},
que é exatamente o que obtivemos na diferenciação explícita.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x+2} \quad\text{(implícita)} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(x+2)^2} \quad\text{(explícita).}íí

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