Determine dy/dx por derivação implícita. x^{2}+\mathrm{y}=x^{3}+y^{2}
Passo 1
O enunciado apresenta a curva implícita
x^{2} + y = x^{3} + y^{2}
e pede \frac{dy}{dx} usando derivação implícita. Para isso, vamos aplicar a derivada em relação a x termo a termo, lembrando que \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx} e usar a regra da cadeia em y^{2}.
Passo 2
Aplicando \frac{d}{dx} em ambos os lados: \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(y^{2})
Isso dá 2x + \frac{dy}{dx} = 3x^{2} + 2y\,\frac{dy}{dx}.
Passo 3
Agrupamos os termos que envolvem \frac{dy}{dx} num lado e os demais no outro: \frac{dy}{dx} - 2y\,\frac{dy}{dx} = 3x^{2} - 2x.