Determine dy/dx por derivação implícita.
x^{2}+\mathrm{y}=x^{3}+y^{2}

Passo 1

O enunciado apresenta a curva implícita
x^{2} + y = x^{3} + y^{2}
e pede \frac{dy}{dx} usando derivação implícita. Para isso, vamos aplicar a derivada em relação a x termo a termo, lembrando que \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx} e usar a regra da cadeia em y^{2}.

Passo 2

Aplicando \frac{d}{dx} em ambos os lados:
\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(y^{2})
Isso dá
2x + \frac{dy}{dx} = 3x^{2} + 2y\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agrupamos os termos que envolvem \frac{dy}{dx} num lado e os demais no outro:
\frac{dy}{dx} - 2y\,\frac{dy}{dx} = 3x^{2} - 2x.

Passo 4

Fatorando \frac{dy}{dx} em evidência:
\frac{dy}{dx}\,(1 - 2y) = 3x^{2} - 2x.
Agora basta isolar \frac{dy}{dx}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2} - 2x}{1 - 2y}.

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