Determine dy/dx por derivação implícita.
y^{2}+2 x y^{2}-3 x+1=0

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
y^{2} + 2\,x\,y^{2} - 3\,x + 1 = 0
e pede \dfrac{dy}{dx}. Aqui vamos usar a derivação implícita, que consiste em derivar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é função de x e aplicando a regra da cadeia sempre que derivamos algo em y.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x, somando tudo e igualando a zero:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(2\,x\,y^{2}\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(3\,x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(1\bigr) =0.
Agora calculamos termo a termo usando regra da cadeia e do produto:
\frac{d}{dx}(y^{2}) = 2\,y\,\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(2\,x\,y^{2}) =2\,y^{2} + 2\,x\cdot 2\,y\,\frac{dy}{dx} =2\,y^{2} +4\,x\,y\,\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(3\,x)=3, \quad \frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na soma e agrupando os termos com \dfrac{dy}{dx}, obtemos
2\,y\,\frac{dy}{dx} \;+\;(2\,y^{2} +4\,x\,y\,\frac{dy}{dx}) \;-\;3 =0
\Bigl(2\,y +4\,x\,y\Bigr)\frac{dy}{dx} \;+\;2\,y^{2} \;-\;3 =0
\bigl[2\,y\,(1+2\,x)\bigr]\frac{dy}{dx} =3 -2\,y^{2}.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx}, divide-se ambos os lados por 2\,y\,(1+2\,x):
\frac{dy}{dx} =\frac{3 -2\,y^{2}}{2\,y\,(1+2\,x)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{3 -2\,y^{2}}{2\,y\,(1+2\,x)}.

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