Determine dy/dx por derivação implícita.
\left(x^{2}+3 y^{2}\right)^{5}=2 x y

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
\bigl(x^{2}+3y^{2}\bigr)^{5}=2x\,y
e pede \dfrac{dy}{dx}. Para isso vamos usar derivação implícita, aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
no lado esquerdo, se u=x^{2}+3y^{2} então \dfrac{d}{dx}u^{5}=5\,u^{4}\,\dfrac{du}{dx} e
\dfrac{du}{dx} = \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3y^{2}\bigr)=2x +6y\,\dfrac{dy}{dx}.
No lado direito, \dfrac{d}{dx}(2x\,y)=2\,y +2x\,\dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Juntando, obtemos
5\bigl(x^{2}+3y^{2}\bigr)^{4}\bigl(2x+6y\,y'\bigr) = 2y +2x\,y',
onde escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Distribuindo 5 no parêntese e deixando tudo num só lado:
10x\,(x^{2}+3y^{2})^{4} \;+\;30y\,(x^{2}+3y^{2})^{4}\,y' \;=\; 2y \;+\;2x\,y'.
Agora agrupamos os termos com y' de um lado e os demais do outro:
30y\,(x^{2}+3y^{2})^{4}\,y' \;-\;2x\,y' = 2y \;-\;10x\,(x^{2}+3y^{2})^{4}.

Passo 5

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\,\bigl[\,30y\,(x^{2}+3y^{2})^{4}-2x\bigr] = 2y-10x\,(x^{2}+3y^{2})^{4}.
Dividindo ambos os lados pelo fator entre colchetes, e simplificando o 2 comum, vem
y'=\frac{2y-10x\,(x^{2}+3y^{2})^{4}}{30y\,(x^{2}+3y^{2})^{4}-2x} =\frac{y-5x\,(x^{2}+3y^{2})^{4}}{15y\,(x^{2}+3y^{2})^{4}-x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y-5x\,(x^{2}+3y^{2})^{4}}{15y\,(x^{2}+3y^{2})^{4}-x}.

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