Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=\frac{e^{-x}}{x+\ln x}

Passo 1

O enunciado nos dá y=\frac{e^{-x}}{x+\ln x}. O conteúdo é derivação de quociente de funções, usando regra do quociente, regra da cadeia (para e^{-x}) e derivada de \ln x.

Passo 2

Identificamos as funções numerador e denominador:
u = e^{-x},\quad v = x + \ln x.
Aplicando a regra da cadeia em u e a soma de derivadas em v, obtemos
u' = -e^{-x},\quad v' = 1 + \frac{1}{x}.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
y' = \frac{u'v - u\,v'}{v^2}.
Substituindo u, u', v e v' temos
y' = \frac{-e^{-x}(x + \ln x) - e^{-x}\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)}{(x + \ln x)^2}.

Passo 4

Fatoramos -e^{-x} no numerador:
y' = -\frac{e^{-x}\Bigl[(x + \ln x) + \bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr]}{(x + \ln x)^2} = -\frac{e^{-x}\bigl(x + \ln x + 1 + \tfrac{1}{x}\bigr)}{(x + \ln x)^2}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{-x}\bigl(x + \ln x + 1 + \tfrac{1}{x}\bigr)}{(x + \ln x)^2}.

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