Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=\ln \sqrt{x^{2}+4 x+1}

Passo 1

O enunciado nos dá y = \ln \sqrt{x^2 + 4x + 1}. Para encontrar \frac{dy}{dx} usaremos a propriedade de logaritmos e a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando \ln \sqrt{u} = \tfrac12 \ln u com u = x^2 + 4x + 1, reescrevemos
y = \tfrac12 \ln\bigl(x^2 + 4x + 1\bigr).

Passo 3

Derivando em relação a x pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \tfrac12 \cdot \frac{1}{x^2 + 4x + 1}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^2 + 4x + 1\bigr).

Passo 4

Como \frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 1)=2x+4, segue
\frac{dy}{dx} = \tfrac12 \cdot \frac{2x+4}{x^2 + 4x + 1} = \frac{x+2}{x^2 + 4x + 1}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{x+2}{x^2 + 4x + 1}.

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