Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
x e^{-y}+y e^{-x}=3

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x e^{-y} + y e^{-x} = 3
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia para cada termo.

Passo 2

Derivando o primeiro termo x e^{-y} em relação a x:
– Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-y}\bigr) = \underbrace{\frac{d}{dx}(x)}_{1}\,e^{-y} + x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-y}\bigr).
– E pela regra da cadeia, \frac{d}{dx}(e^{-y})=e^{-y}\cdot(-y').
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{-y}\bigr) = e^{-y} - x e^{-y}\,y'.

Passo 3

Derivando o segundo termo y e^{-x}:
– Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(y e^{-x}\bigr) = \underbrace{\frac{d}{dx}(y)}_{y'}\,e^{-x} + y\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr).
– Pela regra da cadeia, \frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}\cdot(-1).
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(y e^{-x}\bigr) = e^{-x}\,y' - y e^{-x}.

Passo 4

Somando as derivações e igualando a zero (derivada de 3 é 0):
\bigl(e^{-y} - x e^{-y}y'\bigr) + \bigl(e^{-x}y' - y e^{-x}\bigr)=0.
Reagrupando termos com y':
e^{-y} - y e^{-x} \;+\; y'\bigl(e^{-x}-x e^{-y}\bigr)=0
y'\bigl(e^{-x}-x e^{-y}\bigr) = y e^{-x} - e^{-y}.

Passo 5

Isolando y':
\frac{dy}{dx} = y' = \frac{y e^{-x} - e^{-y}}{e^{-x} - x e^{-y}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y e^{-x} - e^{-y}}{e^{-x} - x e^{-y}}.

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