Determine todos os números x reais que satisfazem a equação dada.
\ln (x-2)+3=\ln (x+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação logarítmica
\ln(x-2)+3=\ln(x+1).
O conteúdo aqui é equações que usam propriedades de logaritmo natural. Vamos precisar:
  1. determinar o domínio de validade dos logaritmos;
  2. usar a propriedade \ln A - \ln B = \ln\!\bigl(\tfrac{A}{B}\bigr);
  3. exponenciar para eliminar o ln e resolver a equação resultante;
  4. verificar se a solução obtida respeita o domínio.

Passo 2

Para que \ln(x-2) e \ln(x+1) estejam definidos, precisamos de
x-2 > 0 \quad\text{e}\quad x+1 > 0,
ou seja,
x > 2.

Passo 3

Subtraindo \ln(x-2) de ambos os lados e usando a propriedade de diferença de logaritmos, obtemos
\ln(x+1) - \ln(x-2) = 3 \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\biggl(\frac{x+1}{x-2}\biggr) = 3.

Passo 4

Exponenciando cada lado, vem
\frac{x+1}{x-2} = e^3.
Multiplicando em cruz e isolando x:
x + 1 = e^3(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad x + 1 = e^3 x - 2e^3 \quad\Longrightarrow\quad x(1 - e^3) = -2e^3 - 1.
Como 1 - e^3 = -(e^3 - 1), a solução é
x = \frac{-2e^3 - 1}{\,1 - e^3\,} = \frac{2e^3 + 1}{\,e^3 - 1\,}.
Verificamos que e^3>1 implica x>2, logo a solução respeita o domínio.

Resposta

x = \frac{2e^3 + 1}{e^3 - 1}.

Exercícios de Livros Relacionados