Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
f(x)=\left(5 x^{4}-3 x^{2}+2 x+1\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(5x^{4}-3x^{2}+2x+1\bigr)^{10}.
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para funções compostas: identificar a função externa (potência) e a interna (o polinômio), derivar cada uma e combinar.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=5x^{4}-3x^{2}+2x+1
e a função externa
f(u)=u^{10}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x). Como é um polinômio, usamos regra do poder termo a termo:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr) =20x^{3}-6x+2.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=f'(u)\cdot u'(x) =10\,u(x)^{9}\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x), fica
f'(x)=10\bigl(5x^{4}-3x^{2}+2x+1\bigr)^{9}\bigl(20x^{3}-6x+2\bigr).

Resposta

f'(x)=10\bigl(5x^{4}-3x^{2}+2x+1\bigr)^{9}\bigl(20x^{3}-6x+2\bigr).

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