Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
y=\left(x^{3}+2 x-7\right)\left(3+x-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \bigl(x^{3} + 2x - 7\bigr)\bigl(3 + x - x^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é a regra do produto de derivadas, além das derivadas de polinômios. Vamos chamar
f(x) = x^{3} + 2x - 7, \quad g(x) = 3 + x - x^{2},
de modo que y = f(x)\,g(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f é polinomial, usamos a regra d(x^{n})/dx = n\,x^{n-1} e d(kx)/dx = k:
f(x) = x^{3} + 2x - 7 \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 3x^{2} + 2.

Passo 3

Agora derivamos g. Novamente é um polinômio:
g(x) = 3 + x - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = 1 - 2x.

Passo 4

Pela regra do produto, a derivada de y = f(x)\,g(x) é
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 5

Substituindo f, f', g e g' em y', obtemos
y' = \bigl(3x^{2}+2\bigr)\bigl(3 + x - x^{2}\bigr) + \bigl(x^{3}+2x-7\bigr)\bigl(1 - 2x\bigr).

Passo 6

Bast a expandir e juntar termos semelhantes:
\begin{aligned} (3x^{2}+2)(3 + x - x^{2}) &= 9x^{2} + 3x^{3} - 3x^{4} + 6 + 2x - 2x^{2} = -3x^{4} + 3x^{3} + 7x^{2} + 2x + 6,\\\ (x^{3}+2x-7)(1 - 2x) &= x^{3} - 2x^{4} + 2x - 4x^{2} - 7 + 14x = -2x^{4} + x^{3} - 4x^{2} + 16x - 7. \end{aligned}
Somando as duas partes:
y' = (-3x^{4}-2x^{4}) + (3x^{3}+x^{3}) + (7x^{2}-4x^{2}) + (2x+16x) + (6-7),
y' = -5x^{4} + 4x^{3} + 3x^{2} + 18x - 1.

Resposta

y' = -5x^{4} + 4x^{3} + 3x^{2} + 18x - 1.

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