Determine a derivada da função dada.
Nos Problemas 3 a 13, determine a derivada da função dada.
f(x)=(3 x+1) \sqrt{6 x+5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (3x+1)\sqrt{6x+5}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra do produto e, dentro dela, da regra da cadeia para derivar \sqrt{6x+5}.

Passo 2

Definimos
u(x) = 3x+1 \quad\text{e}\quad v(x) = (6x+5)^{\tfrac12}.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Derivada de u(x): como é função linear,
u'(x) = 3.

Passo 4

Derivada de v(x) usando regra da cadeia. Se v(t)=t^{1/2}, então v'(t)=\tfrac12\,t^{-1/2}. Aqui t=6x+5 e t' = 6. Logo
v'(x) = \frac12\,(6x+5)^{-1/2}\cdot 6 = 3\,(6x+5)^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{6x+5}}.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv':
f'(x) = 3\sqrt{6x+5} + (3x+1)\,\frac{3}{\sqrt{6x+5}}.

Passo 6

Para simplificar, escrevemos tudo sobre o mesmo denominador \sqrt{6x+5}:
f'(x) = \frac{3(6x+5)}{\sqrt{6x+5}} + \frac{3(3x+1)}{\sqrt{6x+5}} = \frac{18x+15 + 9x+3}{\sqrt{6x+5}} = \frac{27x+18}{\sqrt{6x+5}}.

Resposta

f'(x)=\frac{27x+18}{\sqrt{6x+5}}.

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