Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função f no ponto P0. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
f(x, y)=3 x y^3+x^3, P0=(2,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, no ponto P0=(2,1), a direção tangente e a direção normal à curva de nível de
f(x,y)=3,x,y^3+x^3,
e então escrever as equações das retas tangente e normal nesse ponto. O conteúdo principal aqui é o gradiente de f, que dá a normal à curva de nível, e a ortogonalidade entre as direções normal e tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x =3,y^3+3,x^2,
e a derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y =9,x,y^2

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P0=(2,1):
partial fpartial x(2,1) =3cdot1^3+3cdot2^2=3+12=15, partial fpartial y(2,1) =9cdot2cdot1^2=18
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nabla f(2,1) = (15,,18)

Passo 4

A direção normal à curva de nível em P0 é dada pelo vetor gradiente
n = nabla f(2,1) = (15,,18)
Uma direção tangente t deve satisfazer nabla f(2,1)cdott=0. Um vetor que cumpre isso é
t=(-18,,15),
pois 15cdot(-18)+18cdot15=0.

Passo 5

Escrevemos agora as equações das retas que passam por P0=(2,1) com direções t e n.
Reta tangente (direção t=(-18,15)):
forma explícita
y-1 = -1518(x-2) Long<=ftrightarrow y-1 = -56(x-2)
Reta normal (direção n=(15,18)):
forma explícita
y-1 = 1815(x-2) Long<=ftrightarrow y-1 = 65(x-2)

Resposta

Reta tangente em P0:
y-1 = -56(x-2)
Reta normal em P0:
y-1 = 65(x-2)

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