Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função
no ponto
. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, no ponto
, a direção tangente e a direção normal à curva de nível de
e então escrever as equações das retas tangente e normal nesse ponto. O conteúdo principal aqui é o gradiente de
, que dá a normal à curva de nível, e a ortogonalidade entre as direções normal e tangente.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
e a derivada parcial em relação a
é
Passo 3
Avaliamos o gradiente em
:
Logo
Passo 4
A direção normal à curva de nível em
é dada pelo vetor gradiente
Uma direção tangente
deve satisfazer
. Um vetor que cumpre isso é
pois
.
Passo 5
Escrevemos agora as equações das retas que passam por
com direções
e
.
Reta tangente (direção
):
forma explícita
forma explícita
Reta normal (direção
):
forma explícita
forma explícita
Resposta
Reta tangente em
:
Reta normal em
: