Determine a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado.
z=e^x cos y, P=(-1, pi / 2).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície gráfica definida por
z = e^xcos y
e o ponto P=(-1,tfracpi2) no domínio. Primeiro precisamos encontrar a altura z0 em P e as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em P, pois com elas obtemos o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Calculamos z0=f(-1,tfracpi2) e as derivadas parciais:
z0 = e^-1cdotcos(tfracpi2) = e^0 =1
fx(x,y) = partialpartial xl(e^xcos yr) = cos y;e^xcos y,
fy(x,y) = partialpartial yl(e^xcos yr) = -xsin y;e^xcos y
Em P=(-1,tfracpi2) temos
fx(-1,tfracpi2) = cosl(tfracpi2r),e^0 =0,
fy(-1,tfracpi2) = -(-1)sinl(tfracpi2r),e^0 =1

Passo 3

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em P é
z - z0 = fx(P),(x - x0) + fy(P),(y - y0)
Substituindo z0=1, x0=-1, y0=tfracpi2, fx(P)=0 e fy(P)=1, obtemos
z - 1 = 0,(x+1) + 1,(y - tfracpi2) Longrightarrow z = y - tfracpi2 + 1

Passo 4

Um vetor normal à superfície é dado por
N = l(-fx(P),,-fy(P),,1r) = (0,,-1,,1)
Portanto a reta normal em P tem forma paramétrica
l(x(t),y(t),z(t)r) = l(-1,tfracpi2,1r) + t,(0,-1,1),
isto é,
x(t) = -1, y(t) = tfracpi2 - t, z(t) = 1 + t

Resposta

Plano tangente:
z = y - tfracpi2 + 1
Reta normal (forma paramétrica):
x(t) = -1, y(t) = tfracpi2 - t, z(t) = 1 + t

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