Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função
no ponto
. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
.
Passo 1
O enunciado pede as direções tangente e normal à curva de nível de
que passa por
, e em seguida as equações das retas tangente e normal a essa curva em
. Para isso vamos usar o fato de que o gradiente de
,
, é normal à curva de nível, e qualquer vetor perpendicular a
dá a direção tangente.
Passo 2
Calculemos
usando regra do produto. Seja
. Então
Passo 3
Em
temos
. Logo
Assim
Passo 4
A direção normal à curva de nível em
é dada por
. Podemos simplificar o vetor
para
. Logo uma forma paramétrica da normal é
Em forma cartesiana:
Passo 5
Para a direção tangente precisamos de um vetor ortogonal a
. Se
, um vetor perpendicular é
. Aqui
, então escolhemos
, ou, invertendo o sinal,
. Assim a reta tangente tem forma paramétrica
e em forma cartesiana
Resposta
As equações das retas em
são:
tangente:
normal: