Determine as direções tangente e normal à curva de nível da função f no ponto P0. Escreva as equações das retas tangente e normal à curva nesse ponto.
f(x, y)=x raizx^2+y^2, P0=(3,-4).

Passo 1

O enunciado pede as direções tangente e normal à curva de nível de f(x,y)=xraizx^2+y^2 que passa por P0=(3,-4), e em seguida as equações das retas tangente e normal a essa curva em P0. Para isso vamos usar o fato de que o gradiente de f, nabla f, é normal à curva de nível, e qualquer vetor perpendicular a nabla f dá a direção tangente.

Passo 2

Calculemos nabla f=(fx,fy) usando regra do produto. Seja r=raizx^2+y^2. Então
f(x,y)=x,r, fx=partialpartial x(x,r)=r + xpartial rpartial x =r + xxr =r^2 + x^2r =x^2+y^2 + x^2r =2x^2+y^2r,
fy=partialpartial y(x,r) =xpartial rpartial y =xyr =xyr

Passo 3

Em P0=(3,-4) temos r0=raiz3^2+(-4)^2=5. Logo
fx(3,-4)=2cdot3^2+(-4)^25=18+165=345, fy(3,-4)=3cdot(-4)5=-125
Assim
nabla f(3,-4)=l(tfrac345,,-tfrac125r)

Passo 4

A direção normal à curva de nível em P0 é dada por nabla f(3,-4). Podemos simplificar o vetor l(tfrac345,-tfrac125r) para (17,-6). Logo uma forma paramétrica da normal é
x=3+17,t, y=-4-6,t
Em forma cartesiana:
y+4=-617(x-3)

Passo 5

Para a direção tangente precisamos de um vetor ortogonal a nabla f(3,-4). Se nabla f=(A,B), um vetor perpendicular é (B,-A). Aqui (A,B)=(17,-6), então escolhemos (B,-A)=(-6,-17), ou, invertendo o sinal, (6,17). Assim a reta tangente tem forma paramétrica
x=3+6,s, y=-4+17,s,
e em forma cartesiana
y+4=176(x-3)

Resposta

As equações das retas em P0=(3,-4) são:
tangente:
x=3+6,t, y=-4+17,t Long<=ftrightarrow y+4=176(x-3),
normal:
x=3+17,t, y=-4-6,t Long<=ftrightarrow y+4=-617(x-3)

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