Determine diretamente ou por indução matemática a probabilidade de uma distribuição de N partículas (Maxwell-Boltzmann) em k caixas com N1 na caixa 1, N2 na caixa 2, ldots, Nk na k ésima caixa para quaisquer números Nj >= 1, com N1+N2+cdots+Nk=N, k<N. Repita essa mesma operação para partículas de Fermi-Dirac e de Bose-Einstein.

Passo 1

O problema pede a probabilidade de, escolhendo aleatoriamente um microestado de distribuição de N partículas em k caixas, obter exatamente N1 partículas na caixa 1, N2 na caixa 2, ···, Nk na caixa k, com
N1+N2+cdots+Nk=N,
para três estatísticas diferentes: Maxwell–Boltzmann (partículas distinguíveis, sem restrição de ocupação), Fermi–Dirac (partículas idênticas, no máximo uma por caixa) e Bose–Einstein (partículas idênticas, sem limite de ocupação). Vamos contar microestados e macrostados em cada caso e daí obter as probabilidades.

Passo 2

Maxwell–Boltzmann: cada partícula escolhida é distinguível e pode ir para qualquer das k caixas, logo o total de microestados é
#OmegaMB=k^N
Dado um macroestado (N1,dots,Nk), a multiplicidade (número de microestados que realizam essa distribuição) é o multinomial
WMB=N!N1!,N2!cdots Nk!
Como todos os microestados são equiprováveis,
PMB(N1,dots,Nk) =WMB#OmegaMB =N!N1!,N2!cdots Nk!,1k^N

Passo 3

Fermi–Dirac: partículas idênticas sujeitas ao princípio de exclusão, ou seja, cada caixa pode conter no máximo uma partícula. Logo só são possíveis distribuições com cada Nj=0 ou 1 e sumjNj=N. O total de microestados (escolher N caixas dentre k) é
#OmegaFD=binomkN
Cada macroestado compatível corresponde exatamente a uma escolha de N caixas, sem distinção interna, logo sua multiplicidade é 1. Portanto, para (N1,dots,Nk) permitido,
PFD(N1,dots,Nk) =1#OmegaFD =1binomkN,
e para qualquer vetor com algum Nj>1, PFD=0.

Passo 4

Bose–Einstein: partículas idênticas sem restrição de ocupação. O total de microestados de distribuir N partículas em k caixas é o número de composições com repetição,
#OmegaBE =binomN+k-1N
Aqui também cada macroestado (N1,dots,Nk) corresponde a exatamente uma maneira de contar quantas partículas em cada caixa (as partículas são idênticas), de modo que sua multiplicidade é 1. Assim,
PBE(N1,dots,Nk) =1#OmegaBE =1 binomN+k-1N

Resposta

Maxwell–Boltzmann:
PMB(N1,dots,Nk) =N!N1!,N2!cdots Nk!,1k^N
Fermi–Dirac (só !Njin0,1, sum Nj=N):
PFD(N1,dots,Nk) =1 binomkN, PFD=0 se algum Nj>1
Bose–Einstein:
PBE(N1,dots,Nk) =1 binomN+k-1N

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