Determine diretamente ou por indução matemática a probabilidade de uma distribuição de
partículas (Maxwell-Boltzmann) em
caixas com
na caixa
na caixa
na
ésima caixa para quaisquer números
. Repita essa mesma operação para partículas de Fermi-Dirac e de Bose-Einstein.
Passo 1
O problema pede a probabilidade de, escolhendo aleatoriamente um microestado de distribuição de
partículas em
caixas, obter exatamente
partículas na caixa
,
na caixa
, ···,
na caixa
, com
para três estatísticas diferentes: Maxwell–Boltzmann (partículas distinguíveis, sem restrição de ocupação), Fermi–Dirac (partículas idênticas, no máximo uma por caixa) e Bose–Einstein (partículas idênticas, sem limite de ocupação). Vamos contar microestados e macrostados em cada caso e daí obter as probabilidades.
Passo 2
Maxwell–Boltzmann: cada partícula escolhida é distinguível e pode ir para qualquer das
caixas, logo o total de microestados é
Dado um macroestado
, a multiplicidade (número de microestados que realizam essa distribuição) é o multinomial
Como todos os microestados são equiprováveis,
Passo 3
Fermi–Dirac: partículas idênticas sujeitas ao princípio de exclusão, ou seja, cada caixa pode conter no máximo uma partícula. Logo só são possíveis distribuições com cada
ou
e
. O total de microestados (escolher
caixas dentre
) é
Cada macroestado compatível corresponde exatamente a uma escolha de
caixas, sem distinção interna, logo sua multiplicidade é
. Portanto, para
permitido,
e para qualquer vetor com algum
,
.
Passo 4
Bose–Einstein: partículas idênticas sem restrição de ocupação. O total de microestados de distribuir
partículas em
caixas é o número de composições com repetição,
Aqui também cada macroestado
corresponde a exatamente uma maneira de contar quantas partículas em cada caixa (as partículas são idênticas), de modo que sua multiplicidade é
. Assim,
Resposta
Maxwell–Boltzmann:
Fermi–Dirac (só
,
):
Bose–Einstein: