Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo, sabendo que a superfície da esfera mede 54,76 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado dá a área da superfície de uma esfera inscrita em um cubo igual a ,54,76pi cm^2 e pede a distância do centro da esfera (que coincide com o centro do cubo) até um vértice do cubo. Vamos usar a fórmula da área da superfície da esfera e a relação entre esfera inscrita e cubo para achar o raio da esfera, o lado do cubo e, por fim, a distância desejada.

Passo 2

A área da superfície de uma esfera de raio r é dada por
4pi r^2 ;=; 54,76pi
Cancelando pi e isolando r^2, temos
4r^2 = 54,76 Longrightarrow r^2 = 13,69 Longrightarrow r = raiz13,69 = 3,7 cm

Passo 3

Para uma esfera inscrita num cubo, o diâmetro da esfera é igual ao comprimento da aresta a do cubo. Logo,
a = 2r = 2 times 3,7 = 7,4 cm

Passo 4

A distância do centro do cubo até um vértice é metade da diagonal espacial do cubo. A diagonal espacial de um cubo de aresta a vale araiz3, então a metade vale
araiz32 =7,4raiz32 =3,7raiz3 cm

Resposta

A distância do centro da esfera até um vértice do cubo é
3,7raiz3 cmapprox6,41 cm

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