Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo, sabendo que a superfície da esfera mede
.
Passo 1
O enunciado dá a área da superfície de uma esfera inscrita em um cubo igual a
e pede a distância do centro da esfera (que coincide com o centro do cubo) até um vértice do cubo. Vamos usar a fórmula da área da superfície da esfera e a relação entre esfera inscrita e cubo para achar o raio da esfera, o lado do cubo e, por fim, a distância desejada.
Passo 2
A área da superfície de uma esfera de raio
é dada por
Cancelando
e isolando
, temos
Passo 3
Para uma esfera inscrita num cubo, o diâmetro da esfera é igual ao comprimento da aresta
do cubo. Logo,
Passo 4
A distância do centro do cubo até um vértice é metade da diagonal espacial do cubo. A diagonal espacial de um cubo de aresta
vale
, então a metade vale
Resposta
A distância do centro da esfera até um vértice do cubo é