Determine o menor valor inteiro de k para que a equação 2 x^2+k x+k-5=0 tenha duas raízes de sinais opostos, sendo a negativa a de maior valor absoluto.

Passo 1

Resumindo: queremos o menor inteiro k tal que a equação
2x^2 + kx + (k-5) = 0
tenha duas raízes reais de sinais opostos e com o valor absoluto da raiz negativa maior que o da positiva. Vamos usar o produto das raízes e a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Para ter raízes de sinais opostos, o produto das raízes deve ser negativo. Como em ax^2+bx+c=0 o produto é c/a, aqui
ca = k-52 < 0
Logo
k - 5 < 0 Longrightarrow k < 5

Passo 3

O discriminante é
De<a = k^2 - 4cdot 2,(k-5) = k^2 -8k +40 = (k-4)^2 +24 > 0
para todo k, então as raízes são sempre reais. Pela fórmula de Bhaskara,
x1 = -k + raizDe<a4, x2 = -k - raizDe<a4
Para k<5 temos raizDe<a>k, logo -k+raizDe<a>0 e -k-raizDe<a<0. Portanto x1>0 e x2<0.

Passo 4

Agora impomos lvert x2rvert > x1. Como x2<0, isto é
-x2 > x1 Longrightarrow k + raizDe<a4 > -k + raizDe<a4 Longrightarrow k > -k Longrightarrow k > 0

Passo 5

Juntando as duas desigualdades 0 < k < 5 e lembrando que k é inteiro, obtemos
k in 1,2,3,4
O menor valor inteiro é

Resposta

1

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