Determine a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado.
z=senh(x^2+y^2), P=(1,-1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = sinhl(x^2+y^2r)
no ponto P=(1,-1). Aqui sinh é o seno hiperbólico, i.e.\ sinh. Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y (regra da cadeia) e do valor z0=z(1,-1). Em seguida, usamos a fórmula
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
e, para a reta normal, usamos o vetor normal l(-fx,-fy,1r) num sistema paramétrico.

Passo 2

Defina u=x^2+y^2 e f(x,y)=sinh(u). Pela regra da cadeia,
fx =cosh(u),partial upartial x =2x,cosh(x^2+y^2),
fy =2y,cosh(x^2+y^2)
No ponto (1,-1) temos u=1^2+(-1)^2=2, logo
z0 =f(1,-1) =sinh(2), fx(1,-1) =2cdot1cdotcosh(2) =2cosh(2), fy(1,-1) =2cdot(-1)cdotcosh(2) =-2cosh(2)

Passo 3

Substituindo na fórmula do plano tangente com (x0,y0,z0)=(1,-1,sinh2), obtemos
z - sinh(2) =2cosh(2),(x-1) -2cosh(2),(y+1)

Passo 4

O vetor normal é
n =l(-fx(1,-1),,-fy(1,-1),,1r) =l(-2cosh2,;2cosh2,;1r)
Logo a reta normal, em forma vetorial paramétrica, é
(x,y,z) =(1,-1,sinh2) +t,l(-2cosh2,;2cosh2,;1r)

Resposta

Plano tangente:
boxed z - sinh(2) =2cosh(2),(x-1) -2cosh(2),(y+1)
Reta normal:
boxed (x,y,z) =(1,-1,sinh2) +t,l(-2cosh2,;2cosh2,;1r)

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