Determine a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície de equação dada no ponto dado.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
no ponto
. Aqui
é o seno hiperbólico, i.e.\
. Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais
e
(regra da cadeia) e do valor
. Em seguida, usamos a fórmula
e, para a reta normal, usamos o vetor normal
num sistema paramétrico.
Passo 2
Defina
e
. Pela regra da cadeia,
No ponto
temos
, logo
Passo 3
Substituindo na fórmula do plano tangente com
, obtemos
Passo 4
O vetor normal é
Logo a reta normal, em forma vetorial paramétrica, é
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: