Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação x^2+y^2-4 x+2 y+1=0 e é perpendicular à reta da equação x+2 y-14=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelo centro da circunferência
x^2+y^2-4x+2y+1=0
e é perpendicular à reta
x+2y-14=0
O conteúdo envolve achar o centro de uma circunferência completando quadrados e usar a relação entre coeficientes angulares de retas perpendiculares.

Passo 2

Vamos achar o centro da circunferência completando quadrados em x e y. Partimos de
x^2-4x + y^2+2y +1 = 0
Agrupando e completando quadrados:
x^2-4x = (x-2)^2 -4, y^2+2y = (y+1)^2 -1
Substituindo:
(x-2)^2-4 + (y+1)^2-1 +1 = 0 Longrightarrow (x-2)^2+(y+1)^2 = 4
Logo o centro é C=(2,-1).

Passo 3

A reta dada é
x+2y-14=0 Longrightarrow 2y = -x+14 Longrightarrow y = -tfrac12 x +7,
portanto seu coeficiente angular é m=-tfrac12. A reta perpendicular terá coeficiente angular
mperp = tfrac1mtimes(-1) = 2

Passo 4

A equação da reta que passa por C=(2,-1) e tem coeficiente angular 2 é, em forma ponto-inclinação,
y - (-1) = 2,(x-2) Longrightarrow y+1 = 2x-4 Longrightarrow y = 2x -5
Em forma geral fica
2x - y -5 = 0

Resposta

A equação da reta é
boxedy = 2x - 5
ou, equivalentemente,
boxed2x - y - 5 = 0

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