Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
m x^2+y^2+10 x-8 y+k=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
m x^2 + y^2 + 10x - 8y + k = 0
e pede para quais m e k isso representa uma circunferência. O conteúdo envolvido é classificação de cônicas e completar quadrados para identificar centro e raio.

Passo 2

Numa circunferência não há termo xy (aqui já não há) e os coeficientes de x^2 e y^2 devem ser iguais e não nulos. Como esses coeficientes são m e 1, exigimos
m = 1

Passo 3

Substituindo m = 1, a equação fica
x^2 + y^2 + 10x - 8y + k = 0
Agora vamos completar os quadrados em x e y.

Passo 4

Calculamos
x^2 + 10x = (x+5)^2 - 25, y^2 - 8y = (y-4)^2 - 16
Assim a equação vira
(x+5)^2 - 25 + (y-4)^2 - 16 + k = 0 Longrightarrow (x+5)^2 + (y-4)^2 = 41 - k

Passo 5

O lado direito é o quadrado do raio, R^2=41-k. Para ter uma circunferência não degenerada, precisamos de
41 - k > 0 Longrightarrow k < 41

Resposta

m=1 e k<41.

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