Dadas a reta r: 3 x+y=0 e a circunferência lambda: x^2+y^2+4 x-4 y-8=0, obtenha:
a) a posição relativa de r e lambda.
b) a interseção de r com lambda.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta rcolon 3x+y=0 e a circunferência lambdacolon x^2+y^2+4x-4y-8=0. Vamos determinar a posição relativa usando o centro e o raio de lambda e a fórmula da distância de um ponto a uma reta; em seguida, achar os pontos de interseção.

Passo 2

Para encontrar o centro C e o raio R de lambda completamos quadrados:
x^2+4x+y^2-4y-8=0 ;Longrightarrow; (x+2)^2-4+(y-2)^2-4-8=0 ;Longrightarrow; (x+2)^2+(y-2)^2=16
Logo C=(-2,2) e R=4.

Passo 3

A distância de C=(-2,2) à reta 3x+y=0 é
d = l|3(-2)+2r|raiz3^2+1 = |-6+2|raiz10 = 4raiz10 approx1,26
Comparando d com R: como tfrac4raiz10<4, a reta intercepta a circunferência em dois pontos (é secante).

Passo 4

Para achar esses pontos, escrevemos de r que y=-3x e substituímos em lambda:
x^2+(-3x)^2+4x-4(-3x)-8=0 ;Longrightarrow; 10x^2+16x-8=0 ;Longrightarrow; 5x^2+8x-4=0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática,
x = -8pmraiz64+8010 = -8pm1210,
resultando em x1=25 e x2=-2. Então
y1=-3l(tfrac25r)=-tfrac65, y2=-3(-2)=6
Os pontos de interseção são l(tfrac25,-tfrac65r) e (-2,6).

Resposta

a) A reta r é secante à circunferência lambda (interseção em dois pontos).
b) Os pontos de interseção são l(tfrac25,-tfrac65r) e (-2,6).

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