Determine a equação da reta tangente à curva da função y=f(x) no ponto especificado.
f(x)=x e^{5 x}; em que x=0

Passo 1

Temos a função f(x)=x e^{5x} e queremos a reta tangente no ponto em que x=0. Para isso precisamos de dois ingredientes: o valor da função em x=0 e a derivada f'(x) avaliada em 0, que será o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Calculamos o valor da função em x=0:
f(0) = 0 \cdot e^{5\cdot 0} = 0 \cdot e^0 = 0.

Passo 3

Usamos a regra do produto para derivar f(x)=x\cdot e^{5x}. Seja u(x)=x e v(x)=e^{5x}. Então
u'(x)=1,\quad v'(x)=5e^{5x},
e
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1\cdot e^{5x} + x\cdot 5e^{5x} = e^{5x}\bigl(1 + 5x\bigr).

Passo 4

Avaliamo-la em x=0 para obter o coeficiente angular m:
m = f'(0) = e^{5\cdot 0}\bigl(1 + 5\cdot 0\bigr) = e^0\cdot 1 = 1.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto \bigl(x_0,y_0\bigr)=(0,0) é dada por
y - y_0 = m\,(x - x_0),
isto é
y - 0 = 1\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = x.

Resposta

A reta tangente é
y = x.

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