Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto x0=0, das seguintes funções:
f(x)=(4 x^3+3 x-1)^7

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de grau 2 e 3 de
f(x)=l(4x^3+3x-1r)^7
no ponto x0=0. O conteúdo aqui é expansão em série de potências (ou binomial generalizado) truncada até as ordens desejadas.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=l(-1 + (3x +4x^3)r)^7 =sumk=0^7binom7k(-1)^7-k(3x+4x^3)^k
Para obter os termos até x^3, só precisamos de k=0,1,2,3, pois para k>=4 surgem potências >= x^4.

Passo 3

Calculando termo a termo:
k=0: binom70(-1)^7= -1
k=1: binom71(-1)^6(3x+4x^3) =7,(3x+4x^3) =21x+28x^3
k=2: binom72(-1)^5(3x+4x^3)^2 =-21,(9x^2+dots) =-189x^2+dots
k=3: binom73(-1)^4(3x+4x^3)^3 =35,(27x^3+dots) =945x^3+dots
Somando até x^3 obtemos
f(x)=-1 +21x -189x^2 +(28+945)x^3 +O(x^4) =-1 +21x -189x^2 +973x^3+O(x^4)

Passo 4

O polinômio de grau 2 é a truncação em O(x^3), e o de grau 3 é a truncatura em O(x^4):
P2(x)=-1+21x-189x^2, P3(x)=-1+21x-189x^2+973x^3

Resposta

P2(x)=-1+21x-189x^2,
P3(x)=-1+21x-189x^2+973x^3

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