Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=xx^3+1, x=1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
y = xx^3+1
no ponto de abscissa x=1. O conteúdo envolvido é cálculo de derivada (regra do quociente) para obter a inclinação da tangente e uso da fórmula da reta tangente.

Passo 2

Para achar a derivada y' usamos a regra do quociente: se definirmos
u = x, v = x^3 + 1,
então u' = 1 e v' = 3x^2, e
y' = v,u' - u,v'v^2 = (x^3+1)cdot1 - xcdot3x^2(x^3+1)^2 = x^3 + 1 - 3x^3(x^3+1)^2 = 1 - 2x^3(x^3+1)^2

Passo 3

No ponto x=1 a inclinação da tangente é
m = y'(1) = 1 - 2cdot1^3(1^3+1)^2 = 1 - 2(1 + 1)^2 = -14
O ponto sobre a curva é l(1,y(1)r) com
y(1) = 11^3 + 1 = 12

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto l(1,tfrac12r) com inclinação m=-tfrac14 é dada por
y - 12 = -14,(x - 1),
que, ao isolar y, fica
y = -14,x + 34

Resposta

A reta tangente é
y = -14,x + 34

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