Determine a imagem das funções definidas em
Determine m na função f(x)=-x^23+m x-12 definida em R para que a imagem seja lm=y in R mid y <= 7.

Passo 1

O enunciado pede que a imagem da função
f(x) = -x^23 + m,x - 12
seja yinRmid y<=7.
Conteúdo: máximo de uma parábola com a<0, dado pelo vértice.

Passo 2

Como o coeficiente de x^2 é a=-tfrac13<0, a parábola abre para baixo e sua imagem é
l(-infty,;f(xv)r],
onde xv é a abscissa do vértice.

Passo 3

Para uma função quadrática ax^2+bx+c, tem-se
xv = -b2a
Aqui a=-tfrac13 e b=m, logo
xv = -m2l(-tfrac13r) = 3m2
Substituindo em f:
f(xv) = -13l(3m2r)^2 + mcdot3m2 - 12 = -13cdot9m^24 + 3m^22 - 12 = 3m^24 - 12

Passo 4

Para que o maior valor seja 7, impomos
3m^24 - 12 = 7
Assim
3m^24 = 7 + 12 = 152 Longrightarrow m^2 = 10 Longrightarrow m = pmraiz10

Resposta

m = pmraiz10.

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