Determine o intervalo de variação de x, sabendo que as faces de um triedro medem f1=x, f2=2 x-60^circ, f3=30^circ.

Passo 1

O enunciado diz que temos um triedro cujas três faces formam ângulos planos
;f1=x,;f2=2x-60^circ,;f3=30^circ.
Para que esses três ângulos sejam as faces de um triedro válido, eles se comportam como comprimentos de lados de um “triângulo esférico”, de modo que devem satisfazer:
  1. Positividade: cada fi>0.
  2. Desigualdades do tipo “um menor que a soma dos outros dois”:
    ;f1<f2+f3,;f2<f1+f3,;f3<f1+f2
  3. Cada fi<180^circ.
  4. Soma dos três < 360^circ.

Passo 2

Impondo a positividade de f1 e f2 (já que f3=30^circ>0 está ok):
f1=x>0 e f2=2x-60^circ>0 ;Longrightarrow; x>30^circ

Passo 3

Analisando as desigualdades
  1. f1<f2+f3
x<(2x-60^circ)+30^circ ;Longrightarrow; x>30^circ,
já contido em x>30^circ.
2. f2<f1+f3
2x-60^circ<x+30^circ ;Longrightarrow; x<90^circ
  1. f3<f1+f2
30^circ<x+(2x-60^circ) ;Longrightarrow; x>30^circ,
também já garantido.
Além disso, f1<180^circ e f2<180^circ levam a x<180^circ e x<120^circ, respectivamente, não sendo mais restritivos que x<90^circ.

Passo 4

A soma das três faces deve ser menor que 360^circ:
x+(2x-60^circ)+30^circ<360^circ ;Longrightarrow; 3x<390^circ ;Longrightarrow; x<130^circ,
o que não é mais forte que x<90^circ.

Resposta

O intervalo de variação de x é
30^circ < x < 90^circ

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