Determine a linearização no ponto x0=0, das seguintes funções:
f(x)=xx^2+1

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=xx^2+1
e queremos a linearização em x0=0. Lembrando que a linearização (aproximação afim) é
L(x)=f(x0)+f'(x0),(x-x0)
Para isso precisamos de f(0) e de f'(x) avaliado em 0.

Passo 2

Calculando f(0), temos
f(0)=00^2+1=0

Passo 3

Para obter f'(x) usamos a regra do quociente: se f(x)=dfracu(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=x e v(x)=x^2+1, logo u'(x)=1 e v'(x)=2x. Assim
f'(x) =1cdot(x^2+1)-xcdot(2x)(x^2+1)^2 =x^2+1-2x^2(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2

Passo 4

Avaliando em x=0,
f'(0)=1-0^2(0^2+1)^2=1

Passo 5

Substituindo em
L(x)=f(0)+f'(0),(x-0)
obtemos
L(x)=0+1cdot x=x

Resposta

A linearização de f(x)=dfracxx^2+1 em x0=0 é
L(x)=x

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