A receita gerada pela venda de x unidades de um produto, em uma empresa, é dada por R(x)=-2 x^2 1500 x u. m. Utilize a aproximação linear para calcular R(255).

Passo 1

O enunciado dá a função de receita
R(x)=-2x^2+1500x
e pede para estimar R(255) usando a aproximação linear (linearização). O conteúdo aqui é usar a reta tangente em um ponto próximo a x=255 para aproximar valores da função.

Passo 2

Para qualquer função diferenciável R(x), a aproximação linear em torno de um ponto a é
L(x)=R(a)+R'(a),(x-a)
Primeiro, calculamos a derivada de R:
R'(x)=ddxl(-2x^2+1500xr)=-4x+1500

Passo 3

Escolhemos a=250 porque é um número redondo próximo de 255 e facilita os cálculos. Agora calculamos
R(250)=-2,(250)^2+1500cdot250=-2cdot62500+375000=250000
e
R'(250)=-4cdot250+1500=-1000+1500=500

Passo 4

Usando a linearização em a=250:
L(255)=R(250)+R'(250),(255-250)=250000+500cdot5=250000+2500=252500
Como L(255) é a aproximação de R(255),

Resposta

R(255)approx252500 u. m.

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