Determine o maior e o menor valor da função dada no intervalo especificado.
F(x)=e^{x^{2}-2 x} para 0 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado nos dá a função F(x)=e^{x^{2}-2x} definida no intervalo fechado [0,2] e pede o maior e o menor valor que ela assume nesse intervalo.
Conteúdo: extrema de função num intervalo fechado usando derivada e comparação em pontos críticos e nas extremidades.

Passo 2

Calculamos a derivada de F para encontrar possíveis extremos internos. Usando a regra da cadeia:
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}-2x}\bigr) = e^{x^{2}-2x}\,\frac{d}{dx}(x^{2}-2x) = e^{x^{2}-2x}\,(2x-2).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos F'(x) a zero:
e^{x^{2}-2x}\,(2x-2)=0.
Como e^{x^{2}-2x}>0 para todo x, resta
2x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Esse é o único ponto crítico em (0,2).

Passo 4

Agora avaliamos F nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
F(0)=e^{0^{2}-2\cdot0}=e^{0}=1,
F(1)=e^{1^{2}-2\cdot1}=e^{-1},
F(2)=e^{2^{2}-2\cdot2}=e^{0}=1.
Comparando estes valores, temos
\,e^{-1}<1.

Passo 5

Concluímos que o menor valor de F em [0,2] é e^{-1}, que ocorre em x=1, e o maior valor é 1, que ocorre em x=0 e x=2.

Resposta

Menor valor: F(1)=e^{-1}.
Maior valor: F(0)=F(2)=1.

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