Determine, em R, o conjunto solução das inequações:
xx^3-x^2+x-1 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a inequação
xx^3-x^2+x-1>= 0
O conteúdo principal é fatoração de polinômios e análise de sinal de uma função racional.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador
x^3-x^2+x-1 = x^2(x-1) +1,(x-1) = (x^2+1)(x-1)
Reescrevendo a expressão original, temos
xx^3-x^2+x-1 = x(x^2+1)(x-1)

Passo 3

Note que x^2+1>0 para todo xinR. Logo, o sinal de
x(x^2+1)(x-1)
é o mesmo que o sinal de
x,x-1,

Passo 4

Para resolver
x,x-1,>= 0
analisamos duas situações:
  1. Para a parte estritamente positiva, exigimos numerador e denominador com o mesmo sinal, isto é:
    • Se x>0 e x-1>0, então x>1.
    • Se x<0 e x-1<0, então x<0.
  2. Para a igualdade a zero, basta x=0, desde que o denominador não se anule em x=0. Aqui x-1neq0, logo x=0 é permitido.
Devemos excluir o ponto onde o denominador se anula, ou seja x=1.

Passo 5

Reunindo as partes:
  • Da condição positiva temos x<0 ou x>1.
  • Da condição de igualdade temos x=0.
  • Excluímos x=1.
Portanto, a solução é
(-infty,0];cup;(1,infty)

Resposta

(-infty,0]cup(1,infty)

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