Determine a medida da altura de um cone, sendo 42 cm o diâmetro da base e 1050 pi cm^2 sua área total.

Passo 1

O enunciado dá um cone com diâmetro da base igual a 42 cm e área total igual a 1050pi cm ^2. Queremos encontrar a altura h. Vamos usar a fórmula da área total de um cone reto
Atotal = pi r^2 + pi r,l
onde r é o raio da base e l a geratriz (slant height), e depois aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado por r, h e l.

Passo 2

Do diâmetro 42 cm tiramos o raio
r = 422 = 21 cm
Substituindo em
,Atotal = pi r^2 + pi r,l
fica
,Atotal = picdot21^2 + picdot21,l.

Passo 3

Como Atotal = 1050pi, temos
picdot21^2 + picdot21,l = 1050pi
Cancelando pi em todos os termos e calculando 21^2=441,
441 + 21,l = 1050 Longrightarrow 21,l = 1050 - 441 = 609 Longrightarrow l = 60921 = 29 cm

Passo 4

No triângulo reto formado por r, h e l, vale
l^2 = r^2 + h^2
Substituindo l=29 e r=21,
h^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400 Longrightarrow h = raiz400 = 20 cm

Resposta

A altura do cone mede 20 cm.

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