A geratriz de um cone de revolução forma com o eixo do cone um ângulo de 45^circ. Sendo A a área da seção meridiana do cone, calcule sua área total.

Passo 1

O enunciado descreve um cone de revolução cuja geratriz (slant height) s forma com o eixo (altura) h um ângulo de 45^circ. A área da seção meridiana (um triângulo de base 2r e altura h) é dada como A. Vamos usar as relações trigonométricas e geométricas do triângulo retângulo formado por h, r e s, além das fórmulas de área lateral e área da base do cone.

Passo 2

No triângulo que une vértice, centro da base e ponto da circunferência, o ângulo entre s e h vale 45^circ. Logo, pela definição de cosseno,
cos 45^circ = hs Longrightarrow s = hcos 45^circ = raiz2,h

Passo 3

Esse mesmo triângulo é retângulo, então vale
s^2 = h^2 + r^2
Substituindo s = raiz2,h,
2h^2 = h^2 + r^2 Longrightarrow r^2 = h^2 Longrightarrow r = h

Passo 4

A área da seção meridiana é a de um triângulo de base 2r e altura h, isto é,
A = 2rcdot h2 = r,h
Como r = h, temos A = h^2. Portanto
h = raizA, r = raizA, s = raiz2,raizA

Passo 5

A área total do cone é a soma da área lateral e da área da base:
S = underbracepi,r,slateral ;+;underbracepi,r^2base = pi,r,(s + r)
Substituindo r=raizA e s=raiz2,raizA,
S = pi,raizA,l(raiz2,raizA + raizAr) = pi,l(raiz2,A + Ar) = pi,A,l(1 + raiz2r)

Resposta

boxedS = pi,A,l(1 + raiz2r)

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