Determine o menor valor de N na expressão
, sabendo que:
a) esse quociente é um número natural;
b) k é um número natural maior que 9;
c) é um número natural não múltiplo de 2 ou 3 .
a) esse quociente é um número natural;
b) k é um número natural maior que 9;
c) é um número natural não múltiplo de 2 ou 3 .
Passo 1
Vamos chamar de
o quociente. O enunciado impõe:
– é natural;
– e
;
– não é múltiplo de 2 nem de 3 (ou seja,
).
Para resolver, vamos fatorar o denominador e o numerador em potências de 2 e 3, e ver por que não há como anular essas potências extras de 2 e 3 quando .
–
–
–
Para resolver, vamos fatorar o denominador e o numerador em potências de 2 e 3, e ver por que não há como anular essas potências extras de 2 e 3 quando
Passo 2
Calculemos a fatoração de
em primos.
E
Logo,
Passo 3
Para que
seja inteiro,
deve conter ao menos os fatores
e
(isto resolve o divisor
), mas não há necessidade de fator 2 nem de fator 3, pois
garante
e
. De fato, escrevendo
fica
Passo 4
Analisemos agora a condição de não multiplo de 2 nem de 3. O fator
está em
com expoente positivo (já que
) e o fator
também com expoente positivo (pois
). Logo, independentemente de
, temos
Isso entra em contradição com a exigência de que
não seja múltiplo de 2 nem de 3.
Resposta
Não existe nenhum
que satisfaça todas as condições para algum
.