Determine o menor valor de N na expressão N times 6^k1 times 2 times 3 times 4 times 5 times 6 times 7 times 8 times 9, sabendo que:
a) esse quociente é um número natural;
b) k é um número natural maior que 9;
c) é um número natural não múltiplo de 2 ou 3 .

Passo 1

Vamos chamar de
Q=Ncdot6^k1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8cdot9
o quociente. O enunciado impõe:
Q é natural;
kinN e k>9;
Q não é múltiplo de 2 nem de 3 (ou seja, gcd(Q,6)=1).
Para resolver, vamos fatorar o denominador e o numerador em potências de 2 e 3, e ver por que não há como anular essas potências extras de 2 e 3 quando k>9.

Passo 2

Calculemos a fatoração de 9! em primos.
9! = 1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8cdot9 =2^7cdot3^4cdot5^1cdot7^1
E
6^k = (2cdot3)^k = 2^kcdot3^k
Logo,
Q = Ncdot2^kcdot3^k2^7cdot3^4cdot5cdot7 = N;cdot 2^,k-7;cdot3^,k-4;/(5cdot7)

Passo 3

Para que Q seja inteiro, N deve conter ao menos os fatores 5 e 7 (isto resolve o divisor 5cdot7), mas não há necessidade de fator 2 nem de fator 3, pois k>9 garante k-7>=3 e k-4>=6. De fato, escrevendo
N = 5cdot7cdot M = 35,M,
fica
Q = M;cdot2^,k-7;cdot3^,k-4

Passo 4

Analisemos agora a condição de não multiplo de 2 nem de 3. O fator 2^,k-7 está em Q com expoente positivo (já que k-7>=3) e o fator 3^,k-4 também com expoente positivo (pois k-4>=6). Logo, independentemente de M, temos
2mid Q e 3mid Q
Isso entra em contradição com a exigência de que Q não seja múltiplo de 2 nem de 3.

Resposta

Não existe nenhum NinN que satisfaça todas as condições para algum k>9.

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